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变分积分子(一些数值算例)

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提纲

目的:根据以下几篇论文提供的算法,尝试动手编写一下Matlab代码,跑几个例子加深一下理解.

  1. Variational Integrators and the Newmark Algorithm for Conservative and Dissipative Mechanical System,2000, C Kane
  2. Hamilton–Pontryagin Integrators on Lie Groups,2008, JE Marsden
  3. Hamel’s formalism and variational integrators on a sphere,2012, DV Zenkov
  4. 几何精确梁,2016,王亮
  5. 雪橇,2019,安志朋
VI and Newmark算法

论文说明了classical newmark algorithm在某种意义上是离散力学的变分版本,这样的算法是辛且动量守恒的.拥有较为出色的全局能量行为.其次论文基于Lagrange-d’alembert原理推导了非保守系统的离散变分算法.

数值算例主要基于section3,详细见the variational algorithm on $T^{\star}Q$.

考虑一个nonlinear oscillator, unit mass moving in the plane under influence of the potential $U(q) =q^2(q^2-1)^2.$

测试算法为 隐/显式newmark算法(h=0.2)以及VI $L_d^{sym,\alpha}$ 和R-K, Benchmark
算法采用matlab ode113.为了代码统一,我将其写为对$(q_k,p_{k})$的更新.相对于经典R-K,我调用了fsolve求解DEL方程.结果如下

HP integrators on Lie Groups

考虑势能函数$U_{\alpha}=(dist(Q,I)-1)^2-\frac{\alpha}{dist(Q,Q_t)}$

以Lie-Verlet method(牛顿法计算4.11a式)为例(h=0.125)

Hamel’s formalism and VI

待整理

几何精确梁

考虑重力作用下,并且一端固定的场景(点我,相关代码)

Hamel场方程如上,运算结果如下.

雪橇

待整理